基礎科目 平成28年度 Ⅰ-3-3

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　ξ，ηの関数N₁，N₂，N₃，N₄を次式で定義する。
　N₁ = (1−ξ)(1−η) / 4， N₂ = (1+ξ)(1−η) / 4，N₃ = (1+ξ)(1+η) / 4，N₄ = (1−ξ)(1+η) / 4

N₁，N₂，N₃，N₄を行ベクトルの和の形式で表すと次式のようになる。
　[N₁ N₂ N₃ N₄] = a₀ + ξa₁ + ηa₂ + ξηa₃

ここにa₀,a₁,a₂,a₃は定数項からなる行ベクトルであり，行ベクトルa₀は
　a₀ = 1/4[1 1 1 1]
となる。

　行ベクトルa₁，a_2，a₃として正しい組合せを次の中から選べ。

①　a₁ = 1/4[-1 1 1 -1]，a₂ = 1/4[-1 -1 1 1]，a₃ = 1/4[1 1 1 1]

②　a₁ = 1/4[-1 1 1 −1]，a₂ = 1/4[-1 -1 1 1]，a₃ = 1/4[1 -1 1 -1]

③　a₁ = 1/4[1 1 1 1]，a₂ = 1/4[1 1 1 1]，a₃ = 1/4[1 1 1 1]

④　a₁ = 1/4[1 -1 1 -1]，a₂ = 1/4[-1 -1 1 1]，a₃ = 1/4[-1 1 1 -1]

⑤　a₁ = 1/4[-1 -1 1 1]，a₂ = 1/4[-1 1 1 -1]，a₃ = 1/4[1 -1 1 -1]

解答

　②

解説

　N₁〜N₄の定義から，
　　N₁ = (1−ξ−η+ξη) / 4
　　N₂ = (1+ξ−η−ξη) / 4
　　N₃ = (1+ξ+η+ξη) / 4
　　N₄ = (1−ξ+η−ξη) / 4
となります。

　また，a₀ = 1/4[1 1 1 1] から，
　　[N₁ N₂ N₃ N₄]
　= ( 1 + 1 + 1 + 1 ) / 4
　　+ ξ ( −1 + 1 + 1 − 1 ) / 4
　　+ η (−1 − 1 + 1 + 1 ) / 4
　　+ ξη ( 1 − 1 + 1 − 1 ) / 4
となります。

　これが，
　　a₀ + ξa₁ + ηa₂ + ξηa₃
と等しいため，
　　a₁ = 1/4[-1 1 1 −1]
　　a₂ = 1/4[-1 -1 1 1]
　　a₃ = 1/4[1 -1 1 -1]
とわかります。

参考情報

過去の出題

• 平成22年度 Ⅰ-3-3

オンラインテキスト

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