基礎科目令和元年度再試験 Ⅰ-3-2

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　座標 (x, y, z) で表される3次元直交座標系に，点A (6, 5, 4) 及び平面 S：x + 2y − z = 0 がある。点Aを通り平面Sに垂直な直線と平面Sとの交点Bの座標はどれか。

①　(1, 1, 3)

②　(4, 1, 6)

③　(3, 2, 7)

④　(2, 1, 4)

⑤　(5, 3, 5)

解答・解説

解答

　②

解説

　交点Bの座標を(a, b, c)と置くと，平面 S：x + 2y − z = 0 上にあることから，
　　a + 2b − c = 0 … ①
が成り立ちます。

　また，ベクトルAB = (a−6, b−5, c−4) は平面Sと直行するため，平面Sと平行なベクトルとのの内積は0となります。
　そこで，原点を通る平面S上の任意の2ベクトル (1, 0, 1)，(2, −1, 0)を設定すると，ベクトルABとの内積から，
　　1×(a−6) + 0×(b−5) + 1×(c−4) = a + c − 10 = 0 … ②
　　2×(a−6) + −1×(b−5) + 0×(c−4) = 2a − b − 7 = 0 … ③
となります。

　①，②，③を解くと，
　　a = 4，b = 1，c = 6
となります。