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基礎科目 令和元年度 Ⅰ-3-2

技術士

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　座標(x, y)と変数r, sの間には，次の関係があるとする。

x = g(r, s)
y = h(r, s)

　このとき，関数 z = f(x, y) のx, yによる偏微分とr, sによる偏微分は，次式によって関連付けられる。

\begin{bmatrix} \frac{∂z}{∂r} \\ \frac{∂z}{∂s} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} J \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{∂z}{∂x} \\ \frac{∂z}{∂y} \end{bmatrix}

ここに［J］はヤコビ行列と呼ばれる2行2列の行列である。［J］の行列式として，最も適切なものはどれか。

①　 \frac{∂x}{∂r}\frac{∂x}{∂s} + \frac{∂y}{∂r}\frac{∂y}{∂s}

②　 \frac{∂x}{∂r}\frac{∂x}{∂s} − \frac{∂y}{∂r}\frac{∂y}{∂s}

③　 \frac{∂y}{∂r}\frac{∂y}{∂s} − \frac{∂x}{∂r}\frac{∂x}{∂s}

④　 \frac{∂x}{∂r}\frac{∂y}{∂s} + \frac{∂y}{∂r}\frac{∂x}{∂s}

⑤　 \frac{∂x}{∂r}\frac{∂y}{∂s} − \frac{∂y}{∂r}\frac{∂x}{∂s}

 

解答・解説

解答

　⑤

解説

　まず関数zを偏微分すると，
　　 \frac{∂x}{∂r} = \frac{∂z}{∂x}\frac{∂x}{∂r} + \frac{∂z}{∂y}\frac{∂y}{∂r}
　　 \frac{∂x}{∂s} = \frac{∂z}{∂x}\frac{∂x}{∂s} + \frac{∂z}{∂y}\frac{∂y}{∂s}
となります。

　これを与式に沿って行列で表すと，
　　 \begin{bmatrix} \frac{∂z}{∂r} \\ \frac{∂z}{∂s} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{∂x}{∂r}　\frac{∂y}{∂r} \\ \frac{∂x}{∂s}　\frac{∂y}{∂s} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{∂z}{∂x} \\ \frac{∂z}{∂y} \end{bmatrix}
となります。

　行列 \begin{bmatrix} a　b　 \\ c　d 　\end{bmatrix} の行列式は，ad − bc となるため，
ヤコビアンJの行列式は，
　　 \frac{∂x}{∂r}\frac{∂y}{∂s} − \frac{∂y}{∂r}\frac{∂x}{∂s}
となります。

参考情報

過去の出題
  • 平成24年度 Ⅰ-3-3
オンラインテキスト

（準備中）