基礎科目令和元年度 Ⅰ-1-6

　次の（ア）〜（ウ）の説明が対応する語句の組合せとして，最も適切なものはどれか。

ある一変数関数f(x)がx = 0の近傍において何回でも微分可能であり，適当な条件の下で以下の式
　 $f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^∞ \frac{f^{k}(0)}{k!}x^{k}$
が与えられる。
ネイピア数（自然対数の底）をe，円周率をπ，虚数単位（−1の平方根）をiとする。このとき
　 $e^{iπ} + 1 = 0$
の関係が与えられる。
関数f(x)とg(x)が，cを端点とする開区間において微分可能で
　 $\displaystyle \lim_{ x \to c } f(x) = \displaystyle \lim_{ x \to c } g(x) = 0$ あるいは $\displaystyle \lim_{ x \to c } f(x) = \displaystyle \lim_{ x \to c } g(x) = ∞$ のいずれかが満たされるとする。
このとき，f(x)，g(x)の1階微分をf'(x)，g'(x)として，g'(x) ≠ 0の場合に，
　 $\displaystyle \lim_{ x \to c } \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ が存在すれば， $\displaystyle \lim_{ x \to c } \frac{f(x)}{g(x)} = L$ である。

解答・解説

　③

ある一変数関数f(x)がx = 0の近傍において何回でも微分可能であり，適当な条件の下で以下の式
　 $f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^∞ \frac{f^{k}(0)}{k!}x^{k}$
が与えられる。
マクローリン展開の説明です。
ネイピア数（自然対数の底）をe，円周率をπ，虚数単位（−1の平方根）をiとする。このとき
　 $e^{iπ} + 1 = 0$
の関係が与えられる。
オイラーの等式の説明です。
関数f(x)とg(x)が，cを端点とする開区間において微分可能で
　 $\displaystyle \lim_{ x \to c } f(x) = \displaystyle \lim_{ x \to c } g(x) = 0$ あるいは $\displaystyle \lim_{ x \to c } f(x) = \displaystyle \lim_{ x \to c } g(x) = ∞$ のいずれかが満たされるとする。
このとき，f(x)，g(x)の1階微分をf'(x)，g'(x)として，g'(x) ≠ 0の場合に，
　 $\displaystyle \lim_{ x \to c } \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ が存在すれば， $\displaystyle \lim_{ x \to c } \frac{f(x)}{g(x)} = L$ である。
ロピタルの定理の説明です。

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